KPK dan FPB

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi kedua bilangan tersebut.
(Kata Kunci dalam soal: kelipatan yang sama, bersama-sama/bersamaan)

FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)
Faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah bilangan terbesar yang habis membagi kedua bilangan tersebut.
(Kata Kunci dalam soal: membagikan)

Masalah 1

Kakek Mengunjungi kami setiap 60 hari sekali. Paman mengunjungi kami setiap 18 hari sekali. Setiap berapa hari sekali kakek dan paman mengunjungi kami bersama-sama?

Masalah 2

Ida mendapat oleh-oleh dari ibunya berupa 30 kue dan 72 permen. Kue dan permen tersebut dibungkus untuk dibagikan ke temannya. Setiap bungkus isinya sama. ada berapa bungkus yang bisa dibuat ida sebanyak-banyaknya?

Penyelesain Masalah 1:

Analisis Masalah:

Sebelum kita menentukan apakah ini soal yang berkaitan dengan KPK dan FPB, Kita analisis terlebih dahulu.

Yang diminta dari permasalahan tersebut adalah mencari tau kapan kakek dan paman akan berkunjung bersama. Berarti kita harus menghitung maju, maksud dari menghitung maju disini adalah mencari kelipatan yang sama antara 60 dan 18. Kelipatan adalah nama lain dari perkalian. Jadi masalah pada soal ini adalah KPK.

Cara Penyelesaian:

Ada beberapa cara menyelesaikan permasalahan KPK
I. Cara Mendaftar
    kelipatan 60 : 60, 120, 180, 240, ...
    kelipatan 18 : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, ...
   Kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 180, jadi kakek dan paman akan berkunjung bersama setiap 180 hari sekali,

II. Pohon Faktor atau Faktorisasi Prima

Langkah 1

Bagilah dengan bilangan prima(2, 3, 5, dst) sampai hasilnya merupakan bilangan prima.

Misal 60 dibagi 2, hasilnya 30 dibagi 2 hasilnya 15, karena 15 tidak bisa dibagi 2, maka dibagi 3 hasilnya 5. Karena 5 merupakan bilangan prima berarti sudah selesai. begitu juga dengan 18.

Penjelasan di gambar bawah:

Langkah 2

Kumpulkan semua bilangan prima, yaitu 2, 3 dan 5. Jika ada faktor prima yang sama maka ambil yang memiliki faktor prima terbanyak. 

60      = 2 x 2 x 3       x 5

18      = 2       x 3 x 3

------------------------------------

KPK = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180

=> faktor prima dari 60 memiliki dua angka 2 sedangkan faktor prima dari 18 hanya memiliki satu angka 2 maka ambil yang terbanyak, begitu juga dengan 3 <=

Penyelesaian Masalah 2:

Analisis Masalah

Permasalahan dalam soal ini yaitu bagaimana cara membagi bungkusan kue dan permen agar bisa dibagikan sebanyak-banyaknya kepada teman-temannya, dengan catatan setiap bungkusan isinya sama. Faktor merupakan nama lain dari pembagi, jadi kita berhadapan dengan FPB.

Cara Penyelesaian

I. Cara Mendaftar

Faktor dari 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Faktor dari 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Faktor dari 30 dan 72 adalah 1, 2, 3, dan 6. Bilangan yang paling besar dari 1, 2, 3, 6 adalah 6. jadi FPB dari 30 dan 72 adalah 6.
Jadi Ida bisa membuat bungkusan kue dab permen dengan  isi yang sama bisa di buat sebanyak-banyaknya 6 bungkusan.

II. Pohon Faktor atau faktorisasi prima
Cara menulis faktorisai prima juga bisa dengan cara di bawah ini
Faktor prima dari 30:
30 : 2 = 15
15 : 3 = 5
  5 : 5 = 1      ==> 1 menunjukan akhir dari perhitungan

Faktor dari 72
72 : 2 = 36
36 : 2 = 18
18 : 2 = 9
  9 : 3 = 3
  3 : 3 = 1

Kumpulkan semua faktor prima dan ambil faktor yang sama dari 30 dan 72.
   30 = 2             x 3       x 5
   72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
------------------------------------
FPB = 2       x      3                = 6


Tips:
Jika sudah paham cara di atas bisa menggunakan cara di bawah ini:
FPB : Menggunakan algoritma pembagian
KPK = (Bilangan terbesar x bilangan terkecil) / FPB


FPB dari p dan q dengan p > q dengan algoritma pembagian
p    = ... x q + sisa(1)
q    = ... x sisa(1) + sisa(2)
sisa(1)= ... x sisa(2) + sisa(3)
.
.
.
sisa(n) = ... x sisa(n+1) + 0

maka FPB dari p dan q adalah sisa(n+1)
Cara ini sangat cocok untuk menghitung FPB dari dua bilangan yang besar.

Mari kita coba mencari FPB dan KPK dari 60 dan 18
FPB
60 = 3 x 18 + 6
18 = 3 x 6 + 0
jadi FPB dari 60 dan 18 adalah 6

KPK
KPK = (60 x 18)/6 = 180


FPB dan KPK dari 30 dan 72
FPB
72 = 2 x 30 + 12
30 = 2 x 12 + 6
12 = 2 x 6 + 0
Jadi FPB dari 30 dan 72 adalah 6
KPK = (72 x 32)/6 = 360